9865. Найдите величину части поверхности правильного тетраэдра с ребром a
, заключённой внутри шара, центр которого совпадает с центром тетраэдра, а радиус равен \frac{a\sqrt{22}}{12}
.
Ответ. \frac{a^{2}}{9}(3\sqrt{3}+2\pi)
.
Решение. Пусть DH
— высота правильного тетраэдра ABCD
с ребром a
, O
— центр тетраэдра, r
— радиус круга с центром H
, полученного в пересечении шара с плоскостью ABC
. По теореме Пифагора
r=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{22}}{12}\right)^{2}-OH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{22}}{12}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{144}-\frac{2}{48}}=\frac{1}{3}a.
Заметим, что \frac{1}{3}a\gt\frac{a\sqrt{3}}{6}
, т. е. найденный радиус больше радиуса описанной окружности равностороннего треугольника ABC
, поэтому окружность радиуса r
пересекает сторону AB
в некоторых точках M
и N
. Тогда, если K
— середина ребра AB
, то
MN=2KM=2\sqrt{MH^{2}-HK^{2}}=2\sqrt{\frac{a^{2}}{9}-\frac{a^{2}}{12}}=\frac{1}{3}a=HM=HN.
Значит, треугольник MHN
равносторонний, а его площадь равна \frac{\frac{a^{2}}{9}\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{36}
.
Величина части поверхности правильного тетраэдра с ребром a
, полученной в пересечении шара с плоскостью ABC
, состоит из суммы площадей трёх равносторонних треугольников, равных треугольнику MHN
, и трёх секторов круга радиуса r
с углом 60^{\circ}
, т. е.
S=3\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{36}+3\cdot\frac{1}{6}\pi\cdot\frac{a^{2}}{9}=\frac{a^{2}}{36}(3\sqrt{3}+2\pi).
Умножив полученный результат на четыре, получим ответ задачи.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 93, с. 15