9870. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан цилиндр, ось которого параллельна стороне основания пирамиды. Найдите объём цилиндра, если:
1) апофема пирамиды и сторона основания равны 1;
2) высота пирамиды равна 4, а сторона основания равна 6;
3) высота пирамиды равна 3, а сторона основания равна 8.
Ответ. 1) \frac{\pi}{36}
; 2) \frac{27\pi}{8}
; 3) \frac{128\pi}{81}
.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— середины сторон соответственно AB
, CD
, BC
и AD
основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с высотой SH
, r
и h
— радиус основания и высота вписанного в пирамиду цилиндра, ось которого параллельна стороне AB
, а E
и F
— точки касания окружностей оснований цилиндра с гранями BSC
и ASD
соответственно.
1) Пусть SM=SN=AB=BC=MN=KL=1
. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в равносторонний треугольник MSN
со стороной 1, т. е. r=\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}SH
.
Отрезок EF=h
— высота цилиндра, а расстояние между параллельными прямыми EF
и KL
равно диаметру вписанной окружности треугольника MSN
, т. е. 2r=\frac{2}{3}SH
. Тогда треугольник ESF
подобен треугольнику KSL
с коэффициентом k=\frac{\frac{1}{3}SH}{SH}=\frac{1}{3}
. Значит, h=\frac{1}{3}KL=\frac{1}{3}
. Следовательно,
V_{\mbox{цилиндра}}=\pi r^{2}h=\pi\cdot\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi}{36}.
2) Пусть SH=6
, а MN=KL=AB=6
. Из прямоугольного треугольника SHM
находим, что SM=\sqrt{9+16}=5
. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности с центром O
, вписанной в равнобедренный треугольник MSN
о боковыми сторонами SN=SM=5
, основанием MN=6
и высотой SH=4
. Отрезок MO
— биссектриса треугольника SMH
, поэтому OH:OS=MH:MS=3:5
. Значит,
r=OH=\frac{3}{8}SH=\frac{3}{8}\cdot4=\frac{3}{2}.
Тогда треугольник ESF
подобен треугольнику KSL
с коэффициентом k=\frac{1}{4}
. Значит, h=\frac{1}{4}KL=\frac{3}{2}
. Следовательно,
V_{\mbox{цилиндра}}=\pi r^{2}h=\pi\cdot\frac{9}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{27\pi}{8}.
3) Аналогично пункту 2) найдём, что V_{\mbox{цилиндра}}=\frac{128\pi}{81}
.