9872. Основание пирамиды — квадрат с диагональю 8. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Пирамида пересечена плоскостью, перпендикулярной диагонали основания, так, что в сечении получился пятиугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь сечения.
Ответ. 15
.
Решение. Пусть SABCD
— данная пирамида с вершиной S
, ребро SD=6
перпендикулярно плоскости основания ABCD
, BD=AC=8
. Заметим, что плоскость сечения не может быть перпендикулярной диагонали AC
основания, иначе в сечении получился бы треугольник. Значит, плоскость сечения перпендикулярна прямой BD
, причём точка P
пересечения этой плоскости с диагональю BD
основания лежит между центром O
квадрата ABCD
и его вершиной D
.
Пусть плоскость сечения пересекает рёбра AD
и CD
в точках K
и L
соответственно, а рёбра SA
, SC
и SB
— в точках N
, M
и Q
соответственно. Тогда рассматриваемое сечение — описанный пятиугольник KLMQN
, симметричный относительно прямой PQ
, в котором KN\parallel LM\parallel PQ\parallel SD
, KL\parallel AC
.
Обозначим \frac{AK}{AD}=\frac{CL}{CD}=\frac{OP}{OD}=k
. Треугольник KDL
подобен треугольнику ADC
с коэффициентом \frac{DP}{DO}=1-k
, треугольник KAN
— треугольнику DAS
с коэффициентом \frac{AK}{AD}=\frac{OP}{OD}=k
, а треугольник BPQ
— треугольнику BDS
с коэффициентом
\frac{BP}{BD}=\frac{BO+OP}{BD}=\frac{4+4k}{8}=\frac{1}{2}(1+k).
Значит,
KL=8(1-k),~LM=KN=6k,~PQ=6\cdot\frac{1}{2}(1+k)=3(1+k).
Пусть I
— центр окружности, вписанной в пятиугольник KLMQN
, H
— точка пересечения MN
и IQ
. Тогда MH
— высота треугольника MIQ
. Этот треугольник равнобедренный (IQ=MQ
), так как MI
— биссектриса угла QML
и IQ\parallel ML
, поэтому
\angle MIQ=\angle IML=\angle IMQ.
В прямоугольном треугольнике MHQ
известно, что
MH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}KL=4(1-k),
QM=IQ=PQ-IP=PQ-PK=3(k+1)-4(1-k)=7k-1,
QH=PQ-PH=PQ-KN=3(k+1)-6k=3(1-k).
По теореме Пифагора QM^{2}=QH^{2}+MH^{2}
, или
(7k-1)^{2}=9(1-k)^{2}+16(1-k)^{2}=25(1-k^{2}),~\mbox{или}~7k-1=5(1-k),
откуда k=\frac{1}{2}
.
Тогда
KN=ML=6k=3,~PQ=3(k+1)=\frac{9}{2},~MH=4(1-k)=2.
Площадь пятиугольника KLMQN
равна удвоенной площади трапеции PLMQ
, следовательно,
S_{KLMQN}=(ML+PQ)MH=\left(3+\frac{9}{2}\right)\cdot2=6+9=15.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 198, с. 30