9876. Отрезок, соединяющий центры противоположных граней куба, является высотой конуса. Диагональ куба равна 1. Найдите длину отрезка диагонали куба, заключённого внутри конуса, если отношение диаметра основания конуса к диагонали грани куба равно:
1) 1:2
; 2) 3:4
; 3) 1:4
; 4) 2:3
; 5) 1:3
.
Ответ. 1) \frac{4}{15}
; 2) \frac{24}{55}
; 3) \frac{8}{63}
; 4) \frac{3}{8}
; 5) \frac{6}{35}
.
Решение. Пусть вершина конуса совпадает с центром O
грани ABCD
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, O_{1}
— центр грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, прямая OO_{1}
— высота конуса, диагональ A_{1}C
пересекает боковую поверхность конуса в точках P
и Q
(P
между C
и Q
). Рассмотрим сечение куба и конуса плоскостью AA_{1}C_{1}C
— прямоугольник AA_{1}C_{1}C
и равнобедренный треугольник EOF
с основанием EF
(диаметр основания конуса) на стороне A_{1}C_{1}
.
1) Пусть EF:A_{1}C_{1}=1:2
. Тогда
EF=\frac{1}{2}A_{1}C_{1},~A_{1}F=C_{1}E=\frac{1}{2}(A_{1}C_{1}-EF)=\frac{1}{4}A_{1}C_{1}.
Треугольник A_{1}QF
подобен треугольнику CQO
с коэффициентом
\frac{A_{1}F}{OC}=\frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{1}{2},
поэтому A_{1}Q=\frac{1}{3}CA_{1}=\frac{1}{3}
.
Треугольник CPO
подобен треугольнику A_{1}PE
с коэффициентом
\frac{CO}{A_{1}E}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{3}{4}AC}=\frac{2}{3},
поэтому CP=\frac{2}{5}CA_{1}=\frac{2}{5}
. Следовательно,
PQ=CA_{1}-CP-A_{1}Q=1-\frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{4}{15}.
2) Пусть A_{1}C_{1}=AC=8a
. Тогда
EF=\frac{3}{4}AC=6a,~A_{1}F=\frac{1}{2}(A_{1}C_{1}-EF)=\frac{1}{2}(8a-6a)=a.
Треугольник A_{1}QF
подобен треугольнику CQO
с коэффициентом
\frac{A_{1}F}{OC}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4},
поэтому A_{1}Q=\frac{1}{5}CA_{1}=\frac{1}{5}
.
Треугольник CPO
подобен треугольнику A_{1}PE
с коэффициентом
\frac{CO}{A_{1}E}=\frac{4a}{7a}=\frac{4}{7},
поэтому CP=\frac{4}{11}CA_{1}=\frac{4}{11}
. Следовательно,
PQ=CA_{1}-CP-A_{1}Q=1-\frac{4}{11}-\frac{1}{5}=\frac{24}{55}.
Остальные пункты решаются аналогично.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 285, с. 41