9877. Ось конуса с вершиной P
проходит через противоположные вершины P
и Q
правильного октаэдра, а окружность основания конуса касается четырёх граней четырёхгранного угла с вершиной Q
. Отрезки, соединяющие центры противоположных граней октаэдра, равны 1. Найдите длину части такого отрезка, заключённой внутри конуса, если отношение высоты конуса к диагонали октаэдра равно:
1) 2:3
; 2) 7:12
; 3) 3:4
; 4) 5:6
; 5) 11:12
.
Ответ. 1) \frac{4}{5}
; 2) \frac{49}{76}
; 3) \frac{18}{35}
; 4) \frac{10}{33}
; 5) \frac{22}{161}
.
Решение. Пусть L
и N
— середины рёбер AD
и BC
соответственно, E
и F
— центры противоположных граней соответственно APD
и CQB
правильного октаэдра PABCDQ
, H
— центр квадрата ABCD
, PO
— высота конуса, X
и Y
— точки касания окружности основания конуса с гранями AQD
и CQB
соответственно, M
и K
— точки пересечения прямой EF
с поверхностью конуса (M
между E
и H
.
1) Пусть \frac{PO}{PQ}=\frac{2}{3}
. Тогда
\frac{PO}{PH}=\frac{PO}{\frac{1}{2}PQ}=2\cdot\frac{PO}{PQ}=\frac{4}{3},
поэтому \frac{OH}{QH}=\frac{OH}{PH}=\frac{1}{3}
. Значит, \frac{OH}{OQ}=\frac{1}{2}
.
Рассмотрим сечение октаэдра и конуса плоскостью PLQN
— ромб PLQN
и равнобедренный треугольник XPY
, где X
и Y
— точки на отрезках QL
и QN
соответственно. Поскольку
\frac{FN}{FQ}=\frac{1}{2}=\frac{OH}{OQ}=\frac{YN}{YQ},
в нашем случае точка Y
, F
и N
совпадают.
Положим PL=QN=3a
. Тогда EL=NF=a
, PE=QF=2a
. Пусть прямые PX
и NQ
пересекаются в точке T
. Треугольник QXT
подобен треугольнику LXP
с коэффициентом \frac{QX}{XL}=\frac{QF}{FN}=2
, поэтому
TQ=2PL=6a,~TF=TQ+QF=6a+2a=8a.
Треугольник PME
подобен треугольнику TMF
с коэффициентом \frac{PE}{TF}=\frac{2a}{8a}=\frac{1}{4}
, поэтому EM=\frac{1}{4}MF
. Значит, EM=\frac{1}{5}EF=\frac{1}{5}
. Следовательно,
MK=MF=EF-EM-1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
2) Пусть \frac{PO}{PQ}=\frac{7}{12}
. Тогда
\frac{QO}{QH}=\frac{QO}{PH}=\frac{5}{6},~\frac{QO}{OH}=5.
Рассмотрим сечение октаэдра и конуса плоскостью PLQN
— ромб PLQN
и равнобедренный треугольник XPY
, где X
и Y
— точки на отрезках QL
и QN
соответственно. Тогда
\frac{QY}{YN}=\frac{QO}{OH}=5.
Положим QY=5a
. Тогда
LX=NY=a,~PL=QN=6a,~PE=QF=\frac{2}{3}QN=4a.
Пусть прямые PX
и NQ
пересекаются в точке T
. Треугольник QXT
подобен треугольнику LXP
с коэффициентом \frac{QX}{XL}=\frac{QY}{YN}=5
, поэтому
TQ=5PL=5\cdot6a=30a,~TF=TQ+QF=30a+4a=34a.
Треугольник PME
подобен треугольнику TMF
с коэффициентом \frac{PE}{TF}=\frac{4a}{34a}=\frac{2}{17}
, поэтому EM=\frac{2}{19}EF=\frac{2}{19}
.
Пусть прямые XY
и PL
пересекаются в точке G
. Тогда LG=NY=a
. Треугольник FKY
подобен треугольнику EKG
с коэффициентом \frac{FY}{EG}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}
, поэтому FK=\frac{1}{4}EF
. Следовательно,
MK=EF-FK-EM=1-\frac{1}{4}-\frac{2}{19}=\frac{49}{76}.
Остальные пункты решаются аналогично.