9884. Точка E
— середина ребра DD_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите косинус угла между прямыми AB_{1}
и A_{1}E
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{10}}
.
Решение. Пусть ребро куба равно a
, а точка M
— середина ребра C_{1}D_{1}
. Тогда EM
— средняя линия треугольника DD_{1}C_{1}
, поэтому EM\parallel D_{1}C_{1}\parallel AB_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и A_{1}E
равен углу между пересекающимися прямыми EM
и A_{1}E
, т. е. углу A_{1}EM
или его дополнению до 180^{\circ}
. По теореме Пифагора находим, что
A_{1}M=A_{1}E=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},
а так как
EM=\frac{1}{2}D_{1}C_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
то A_{1}EM
— острый угол как угол при основании равнобедренного треугольника, значит, это и есть искомый угол. Пусть A_{1}H
— высота треугольника A_{1}EM
. Тогда H
— середина отрезка EM
. Следовательно,
\cos\angle A_{1}EM=\frac{EH}{A_{1}E}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.