9889. Диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равна 48, высота пирамиды равна 8. Ось цилиндра, осевое сечение которого — квадрат, параллельна AC
, а окружности оснований пересекают: одна — рёбра трёхгранного угла A
, другая — рёбра трёхгранного угла B
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 15
Решение. Пусть H
— центр основания ABCD
, r
— радиус цилиндра. Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости BSD
и отстоящими от этой плоскости на расстояния, равные r
. Пусть вершины A_{1}
, B_{1}
, D_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах AS
, AB
и AD
соответственно. Тогда треугольная пирамида AS_{1}B_{1}D_{1}
с вершиной A
подобна (гомотетична) пирамиде ASBD
с коэффициентом k=\frac{24-r}{24}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника BSD
. Продолжим SH
до пересечения с этой окружностью в точке S_{1}
. Тогда AH=24
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или 24^{2}=8(2R-8)
. Отсюда находим, что R=40
.
Из подобия получаем, что r=kR=\frac{24-r}{24}\cdot40
, откуда r=15
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 218, с. 33