9891. Основание пирамиды SABC
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой BC=12
. Ребро SA=8
перпендикулярно плоскости основания. Ось цилиндра параллельна ребру BC
, а окружности оснований пересекают ребра трёхгранных углов с вершинами B
и C
. Отношение высоты цилиндра к радиусу равно 3:5
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 4
.
Решение. Пусть r=5t
и h=3t
— радиус и высота цилиндра, M
— середина гипотенузы BC
. Тогда AM=\frac{1}{2}BC=6
. Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости ASM
и отстоящими от этой плоскости на расстояния, равные 6-\frac{1}{2}h=6-\frac{3}{2}t
. Пусть вершины A_{1}
, C_{1}
, S_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах BA
, BC
и BS
соответственно. Тогда треугольная пирамида BA_{1}C_{1}S_{1}
с вершиной B
подобна (гомотетична) пирамиде BAMS
с коэффициентом k=\frac{BC_{1}}{BM}=\frac{6-\frac{3}{2}t}{6}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ASM
с гипотенузой
SM=\sqrt{AM^{2}+SA^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
Тогда R=\frac{1}{2}SM=5
.
Из подобия получаем, что
5t=r=kR=\frac{6-\frac{3}{2}t}{6}\cdot5,
откуда t=\frac{4}{5}
. Следовательно, r=5t=4
.