9892. Основание пирамиды SABC
— треугольник ABC
со сторонами AB=10
, AC=17
, BC=21
. Ребро SA=6
перпендикулярно плоскости основания. Ось цилиндра параллельна ребру BC
, а окружности оснований пересекают ребра трёхгранных углов с вершинами B
и C
. Отношение высоты цилиндра к его радиусу равно 14:5
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 3
.
Решение. Пусть r=5t
и h=14t
— радиус и высота цилиндра, AH
— высота треугольника ABC
. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{24\cdot3\cdot14\cdot7}=84,
поэтому
AH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\cdot84}{21}=8.
Тогда
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6,~CH=BC-BH=21-6=15.
Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости ASH
. Пусть вершины A_{1}
, C_{1}
, S_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах BA
, BC
и BS
соответственно. Тогда треугольная пирамида BA_{1}C_{1}S_{1}
с вершиной B
подобна (гомотетична) пирамиде BAHS
с коэффициентом k_{1}=\frac{BC_{1}}{BH}=\frac{6-C_{1}H}{6}
.
Вершины A_{2}
, B_{2}
, S_{2}
второго треугольника расположены на рёбрах CA
, CB
и CS
соответственно. Тогда треугольная пирамида CA_{2}B_{2}S_{2}
с вершиной C
подобна (гомотетична) пирамиде CAHS
с коэффициентом k_{2}=\frac{CB_{2}}{CH}=\frac{15-B_{2}H}{15}
. Треугольники A_{1}C_{1}S_{1}
и A_{2}B_{2}S_{2}
равны, поэтому k_{1}=k_{2}=k
, т. е. \frac{6-C_{1}H}{6}=\frac{15-B_{2}H}{15}
, откуда получаем, что B_{2}H=\frac{5}{2}C_{1}H
. Поскольку B_{2}H+C_{1}H=h=14t
, то
C_{1}H=4t,~B_{2}H=10t,~k=\frac{6-C_{1}H}{6}=\frac{6-4t}{6}=\frac{3-2t}{3}.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ASH
с гипотенузой
SH=\sqrt{AH^{2}+SA^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10.
Тогда R=\frac{1}{2}SH=5
.
Из подобия получаем, что
5t=r=kR=\frac{3-2t}{3}\cdot5,
откуда t=\frac{3}{5}
. Следовательно, r=5t=3
.