9893. Основание пирамиды SABC
— равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=4
и высотой AD=10
. Высота пирамиды проходит через середину AD
и равна 1. Ось цилиндра параллельна ребру BC
, а окружности оснований пересекают ребра трёхгранных углов с вершинами B
и C
. Отношение высоты цилиндра к радиусу равно 9:13
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 4
.
Решение. Пусть r=13t
и h=9t
— радиус и высота цилиндра, SH
— высота пирамиды SABC
, H
середина высоты AD
равнобедренного треугольника ABC
, поэтому треугольник ASD
— тоже равнобедренный, D
— середина BC
. Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости ASD
и отстоящими от этой плоскости на расстояния, равные 2-\frac{1}{2}h=2-\frac{9}{2}t
. Пусть вершины A_{1}
, C_{1}
, S_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах BA
, BC
и BS
соответственно. Тогда треугольная пирамида BA_{1}C_{1}S_{1}
с вершиной B
подобна (гомотетична) пирамиде BAMS
с коэффициентом k=\frac{BC_{1}}{BD}=\frac{2-\frac{9}{2}t}{6}
.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ASD
. Продолжим его высоту SH
до пересечения с этой окружностью в точке S_{1}
. Тогда AH=5
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или 5^{2}=1\cdot(2R-1)
. Отсюда находим, что R=13
.
Из подобия получаем, что
13t=r=kR=\frac{2-\frac{3}{2}t}{6}\cdot13,
откуда t=\frac{4}{13}
. Следовательно, r=13t=4
.