9894. Основание пирамиды SABC
— треугольник ABC
со сторонами AB=13
, AC=15
, BC=14
. Высота пирамиды проходит через середину высоты AD
основания и равна 12. Ось цилиндра параллельна ребру BC
, а окружности оснований пересекают ребра трёхгранных углов с вершинами B
и C
. Отношение высоты цилиндра к его радиусу равно 7:15
. Найдите радиус цилиндра.
Ответ. 6
.
Решение. Пусть r=15t
и h=7t
— радиус и высота цилиндра, H
— середина высоты AD
треугольника ABC
, SH
— высота пирамиды. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\cdot8\cdot6\cdot7}=84,
поэтому
AD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\cdot84}{14}=12.
Тогда
BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,~CD=BC-BD=14-5=9.
Окружности оснований цилиндра описаны около треугольников сечений пирамиды плоскостями, параллельными плоскости ASD
. Пусть вершины A_{1}
, C_{1}
, S_{1}
одного из этих треугольников расположены на рёбрах BA
, BC
и BS
соответственно. Тогда треугольная пирамида BA_{1}C_{1}S_{1}
с вершиной B
подобна (гомотетична) пирамиде BADS
с коэффициентом k_{1}=\frac{BC_{1}}{BD}=\frac{5-C_{1}D}{5}
.
Вершины A_{2}
, B_{2}
, S_{2}
второго треугольника расположены на рёбрах CA
, CB
и CS
соответственно. Тогда треугольная пирамида CA_{2}B_{2}S_{2}
с вершиной C
подобна (гомотетична) пирамиде CADS
с коэффициентом k_{2}=\frac{CB_{2}}{CD}=\frac{9-B_{2}D}{9}
. Треугольники A_{1}C_{1}S_{1}
и A_{2}B_{2}S_{2}
равны, поэтому k_{1}=k_{2}=k
, т. е. \frac{5-C_{1}D}{5}=\frac{9-B_{2}D}{9}
, откуда получаем, что B_{2}D=\frac{9}{5}C_{1}D
. Поскольку B_{2}D+C_{1}D=h=7t
, то
C_{1}D=\frac{5}{2}t,~B_{2}D=\frac{9}{2}t,~k=\frac{5-C_{1}D}{5}=\frac{5-\frac{5}{2}t}{5}=1-\frac{1}{2}t.
Пусть R
— радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника ASD
. Продолжим его высоту SH
до пересечения с этой окружностью в точке S_{1}
. Тогда AH=6
— высота прямоугольного треугольника SAS_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AH^{2}=SH\cdot HS_{1}
, или 6^{2}=12\cdot(2R-12)
. Отсюда находим, что R=\frac{15}{2}
.
Из подобия получаем, что
15t=r=kR=\left(1-\frac{1}{2}t\right)\cdot\frac{15}{2},
откуда t=\frac{2}{5}
. Следовательно, r=15t=6
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 223, с. 34