9896. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Три равных шара касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса, при этом каждый шар касается двух остальных.
1) Найдите радиусы шаров, если высота конуса равна h
.
2) Найдите высоту конуса, если радиусы шаров равны r
.
Ответ. 1) h
или \frac{h}{5}
. 2) r
или 5r
.
Решение. 1) Предположим, что шары касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Пусть SH=h
— высота конуса, O
— центр одного из шаров, K
— точка касания этого шара с плоскостью основания конуса, M
и L
— точки касания с этой плоскостью остальных шаров.
Проведём плоскость через параллельные прямые SH
и OK
. В её сечении с конусом и шаром получим равносторонний треугольник ASB
и круг с центром O
искомого радиуса x
, касающийся прямой AB
, отрезка SA
(или SB
). Тогда AO
— биссектриса угла KAS
, равного 120^{\circ}
, поэтому
HK=HA+AK=SH\ctg60^{\circ}+OK\ctg60^{\circ}=\frac{h}{\sqrt{3}}+\frac{x}{\sqrt{3}}.
Стороны равностороннего треугольника KLM
равны 2x
, а H
— центр его описанной окружности, так как HL=HM=HK
. Значит, HK=\frac{2x}{\sqrt{3}}
.
Из уравнения \frac{h}{\sqrt{3}}+\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{\sqrt{3}}
находим, что x=h
.
Если же шары касаются боковой поверхности конуса внутренним образом, то AO
— биссектриса угла SAH
, равного 60^{\circ}
, поэтому AK=2x\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3}
. Значит, соответствующее уравнение имеет вид \frac{h}{\sqrt{3}}-x\sqrt{3}=\frac{2x}{\sqrt{3}}
, откуда x=\frac{h}{5}
.
2) Решение аналогично.