9897. Шесть равных шаров касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса, при этом каждый шар касается двух соседних. Найдите радиусы шаров, если:
1) высота конуса равна 4, радиус основания равен 3.
2) высота конуса равна 3, радиус основания равен 4.
Ответ. 1) 2
или \frac{3}{4}
. 2) \frac{12}{5}
или \frac{4}{5}
.
Решение. 1) Предположим, что шары касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Пусть SH=4
— высота конуса, O
— центр одного из шаров, K_{1}
— точка касания этого шара с плоскостью основания конуса, K_{2},~\dots,~K_{6}
— точки касания с этой плоскостью остальных шаров.
Проведём плоскость через параллельные прямые SH
и OK_{1}
. В её сечении с конусом и шаром получим равнобедренный треугольник ASB
и круг с центром O
искомого радиуса R
, касающийся прямой AB
, отрезка SA
(или SB
). Тогда AO
— биссектриса угла K_{1}AS
. Обозначим \angle SAB=\alpha
.
Из прямоугольного треугольника AHS
находим, что AS=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5
. Пусть биссектриса угла SAH
пересекает отрезок SH
в точке I
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{HI}{IS}=\frac{AH}{AS}=\frac{3}{5}
, значит, HI=\frac{3}{8}SH=\frac{3}{2}
. Из прямоугольного треугольника AHI
находим, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{HI}{AH}=\frac{1}{2}
.
Поскольку
\angle AOK_{1}=90^{\circ}-\angle OAK_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\alpha}{2},
из прямоугольного треугольника AOK_{1}
находим, что AK_{1}=R\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}R
. Тогда
HK_{1}=HA+AK_{1}=3+\frac{1}{2}R.
Стороны правильного шестиугольника K_{1}\dots K_{6}
равны 2R
, а H
— центр его описанной окружности, так как HK_{1}=K_{2}=\dots=H_{6}
. Значит, HK_{1}=2R
.
Из уравнения 3+\frac{1}{2}R=2R
находим, что R=2
.
Если же шары касаются боковой поверхности конуса внутренним образом, то AO
— биссектриса угла SAH
, равного \frac{\alpha}{2}
, поэтому AK_{1}=R\ctg\frac{\alpha}{2}=2R
. Значит, соответствующее уравнение имеет вид 3-2R=2R
, откуда R=\frac{3}{4}
.
2) Решение аналогично.
Примечание. Вычислить \tg\frac{\alpha}{2}
можно, применив формулу для тангенса двойного аргумента: из прямоугольного треугольника AHS
находим, что \tg\alpha=\frac{SH}{AH}=\frac{4}{3}
, а так как \tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
, получаем уравнение \frac{4}{3}=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
, из которого находим, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}
.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 303, с. 44