9898. Шесть равных шаров радиуса r
касаются боковой поверхности и плоскости основания конуса, высота которого равна диаметру шаров. При этом каждый шар касается двух соседних. Найдите радиус конуса.
Ответ. \frac{3}{2}r
.
Решение. Заметим, что шары касаются боковой поверхности конуса внешним образом. Пусть SH=2r
— высота конуса, O
— центр одного из шаров, K_{1}
— точка касания этого шара с плоскостью основания конуса, K_{2},~\dots,~K_{6}
— точки касания с этой плоскостью остальных шаров.
Проведём плоскость через параллельные прямые SH
и OK_{1}
. В её сечении с конусом и шаром получим равнобедренный треугольник ASB
и круг с центром O
радиуса r
, касающийся прямой AB
, отрезка SA
(или SB
). Тогда AO
— биссектриса угла K_{1}AS
. Обозначим \angle SAB=\alpha
, AH=x
. Из прямоугольного треугольника AHS
находим, что AS=\sqrt{4r^{2}+x^{2}}
. Пусть биссектриса угла SAH
пересекает отрезок SH
в точке I
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{HI}{IS}=\frac{AH}{AS}=\frac{x}{\sqrt{4r^{2}+x^{2}}}
, значит, HI=\frac{x}{\sqrt{4r^{2}+x^{2}}+x}\cdot2r
. Из прямоугольного треугольника AHI
находим, что
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{HI}{AH}=\frac{2r}{\sqrt{4r^{2}+x^{2}}+x}=\frac{\sqrt{x^{2}+4r^{2}}-x}{2r}.
Поскольку
\angle AOK_{1}=90^{\circ}-\angle OAK_{1}=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\alpha}{2},
из прямоугольного треугольника AOK_{1}
находим, что
AK_{1}=r\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+4r^{2}}-x}{2}.
Тогда
HK_{1}=HA+AK_{1}=x+\frac{\sqrt{x^{2}+4r^{2}}-x}{2}.
Стороны правильного шестиугольника K_{1}\dots K_{6}
равны 2r
, а H
— центр его описанной окружности, так как HK_{1}=K_{2}=\dots=H_{6}
. Значит, HK_{1}=2r
. Тогда
x+\frac{\sqrt{x^{2}+4r^{2}}-x}{2}=2r,~\sqrt{x^{2}+4r^{2}}=4r-x,~12r^{2}=8rx,~x=\frac{3}{2}r.
Примечание. Вычислить \tg\frac{\alpha}{2}
можно, применив формулу для тангенса двойного аргумента: из прямоугольного треугольника AHS
находим, что \tg\alpha=\frac{SH}{AH}=\frac{2r}{x}
, а так как \tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
, получаем уравнение \frac{2r}{x}=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}
, из которого находим, что \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{x^{2}+4r^{2}}-x}{2r}
.