9901. Плоскости \alpha
и \beta
параллельны. Точки A
и C
принадлежат плоскости \alpha
, а точки B
и D
— плоскости \beta
. Известно, что AB\perp\alpha
, BD=20
, AC=13
, CD=35
, а расстояние между прямыми AB
и CD
равно 12. Найдите расстояние между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 28
или 4\sqrt{69}
.
Решение. Прямая AB
перпендикулярна плоскости \alpha
, значит, она перпендикулярна и плоскости \beta
, параллельной \alpha
. Пусть C_{1}
— ортогональная проекция точки C
на плоскость \beta
. Тогда ACC_{1}B
— прямоугольник, поэтому BC_{1}=AC=13
. Расстояние между параллельными плоскостями \alpha
и \beta
равно длине отрезка CC_{1}
, а DC_{1}
— ортогональная проекция наклонной CD
на плоскость \beta
. Перпендикуляр BH
к прямой DC_{1}
равен расстоянию между скрещивающимися прямыми AB
и CD
(см. задачу 8406).
Из прямоугольных треугольников BDH
и BC_{1}H
находим, что
DH=\sqrt{BD^{2}-BH^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16,~
C_{1}H=\sqrt{BC_{1}^{2}-BH^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5.
Предположим, что точка H
лежит между D
и C_{1}
. Тогда
DC_{1}=DH+C_{1}H=16+5=21,
Следовательно,
CC_{1}=\sqrt{CD^{2}-DC_{1}^{2}}=\sqrt{35^{2}-21^{2}}=\sqrt{14\cdot56}=14\cdot2=28.
Если же точка H
лежит вне отрезка DC_{1}
, то
DC_{1}=DH-C_{1}H=16-5=11.
Следовательно,
CC_{1}=\sqrt{CD^{2}-DC_{1}^{2}}=\sqrt{35^{2}-11^{2}}=\sqrt{24\cdot46}=4\sqrt{69}=28.