9909. Каждое из оснований правильной призмы является основанием пирамиды, вершина которой — центр другого основания призмы. Найдите отношение объёма тела, ограниченного боковыми гранями пирамид, к объёму призмы.
Ответ. 1:12
.
Решение. Тело T
, ограниченное боковыми гранями пирамид, состоит из двух равных пирамид с общим основанием. Это основание — многоугольник, подобный основаниям призмы с коэффициентом \frac{1}{2}
, а высота каждой из этих пирамид равна половине высоты призмы. Пусть объём призмы равен V
, а объём каждой из двух упомянутых пирамид равен v
. Тогда объём тела T
равен
2v=2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}V=\frac{1}{2}V.
Следовательно, 2v:V=1:12
.
Примечание. Утверждение задачи верно для любой призмы.
Источник: Дзык П. Г. Сборник стереометрических задач на комбинации геометрических тел. — Одесса: Mathesis, 1914. — № 238, с. 36