9910. Объём правильной шестиугольной пирамиды равен V
. В основании пирамиды проведены диагонали, не проходящие через центр. Полученные при этом правильные треугольники являются перпендикулярными сечениями призм, боковые грани которых пересекают пирамиду. Найдите объём части пирамиды, заключённой внутри призм.
Ответ. 11:18
.
Решение. Пусть объём правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
с вершиной S
равен V
, площадь основания ABCDEF
равна 6s
, высота SO
пирамиды равна h
, боковая грань одной из призм проходит через диагональ AC
основания и пересекает ребро SB
в точке P
, боковая грань второй проходит через диагональ BD
и пересекает ребро SC
в точке Q
, диагонали AC
и BD
пересекаются в точке K
, отрезки BQ
и CP
— в точке M
, а отрезки AC
и OB
— в точке N
.
Искомый объём равен V-6V_{1}-6V_{2}
, где V_{1}
— объём треугольной пирамиды PABC
, а V_{2}
— объём треугольной пирамиды MBCK
, являющейся общей частью пирамид PABC
и QBCD
.
Большие диагонали правильного шестиугольника разбивают его на шесть равных треугольников, поэтому
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}=\frac{1}{6}S_{ABCDEF}=s.
Точка N
— середина OB
и NP\parallel SO
, поэтому отрезок PN
— средняя линия треугольника SBO
, значит, PN=\frac{1}{2}SO=\frac{1}{2}h
и PN
— высота пирамиды PABC
. Тогда
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot PN=\frac{1}{3}s\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{3}\cdot6sh=\frac{1}{12}V.
Треугольник BKC
подобен треугольнику DKA
с коэффициентом \frac{BC}{DK}=\frac{1}{2}
, поэтому
CK=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}\cdot2CN=\frac{2}{3}CN,~MK=\frac{2}{3}PN=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}SO=\frac{1}{3}h,
S_{\triangle BKC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}s.
а так как MK
— высота пирамиды MBCK
, то
V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle BKC}\cdot MK=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}s\cdot\frac{1}{3}h=\frac{1}{54}\cdot\frac{1}{3}\cdot6sh=\frac{1}{54}V.
Следовательно,
V-6V_{1}-6V_{2}=V-6\cdot\frac{1}{12}V+6\cdot\frac{1}{54}V=\frac{1}{2}V+\frac{1}{9}V=\frac{11}{18}V.