9914. Дана правильная треугольная пирамида SABC
с вершиной S
. Точка A
— вершина конуса, точки S
, B
и C
лежат на его боковой поверхности. Найдите угол между образующей и осью конуса, если:
1) угол бокового ребра пирамиды с плоскостью основания равен 30^{\circ}
;
2) отношение бокового ребра к плоскости основания равно 4:3
.
Ответ. 1) 30^{\circ}
; 2) \arcsin\frac{5}{8}
.
Решение. 1) Пусть сторона основания равна a
, H
— центр основания ABC
. Из прямоугольного треугольника SAH
находим, что
AS=\frac{AH}{\cos\angle SAH}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}a.
На рёбрах AB
и AC
отложим отрезки AB_{1}=AC_{1}=AS=\frac{2}{3}a
. Тогда B_{1}C_{1}=AB_{1}=AC_{1}=\frac{2}{3}a
.
Пусть SP
— высота треугольника ASB
. Тогда
SP^{2}=SA^{2}-AP^{2}=\frac{4}{9}a^{2}-\frac{1}{4}a^{2}=\frac{7}{36}a^{2},~PB_{1}=AB_{1}-AP=\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}a=\frac{1}{6}a,
SB_{1}=\sqrt{SP^{2}+PB_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{7}{36}a^{2}+\frac{1}{36}a^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.
Аналогично, SC_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{3}
, значит, треугольник B_{1}SC_{1}
равнобедренный и прямоугольный с прямым углом при вершине S
.
Пусть O
— центр его описанной окружности, R
— радиус, а угол между образующей SA
и осью SO
конуса равен \alpha
. Тогда
R=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=\frac{1}{3}a.
Следовательно,
\sin\alpha=\sin\angle SAO=\frac{SO}{SA}=\frac{R}{SA}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{2}{3}a}=\frac{1}{2},.
а так как угол острый, то \alpha=30^{\circ}
.
2) Пусть AB=3b
, SA=4b
. На лучах AB
и AC
отложим отрезки AB_{1}=AC_{1}=AS=4b
. Тогда B_{1}C_{1}=AB_{1}=AC_{1}=4b
.
Пусть SP
— высота треугольника ASB
. Тогда
SP^{2}=SA^{2}-AP^{2}=16b^{2}-\frac{9}{4}b^{2}=\frac{55}{4}b^{2},~PB_{1}=PB+BB_{1}=\frac{3}{2}b+b=\frac{5}{2}b,
SB_{1}=\sqrt{SP^{2}+PB_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{55}{4}b^{2}+\frac{25}{4}b^{2}}=2b\sqrt{5}.
Аналогично, SC_{1}=2b\sqrt{5}
.
Пусть O
— центр описанной окружности равнобедренного треугольника B_{1}SC_{1}
, R
— радиус, K
— середина B_{1}C_{1}
, а угол между образующей SA
и осью SO
конуса равен \alpha
. Тогда
SK=\sqrt{SB_{1}^{2}-B_{1}K^{2}}=\sqrt{20b^{2}-4b^{2}}=4b.
Продолжим SK
до пересечения с окружностью в точке S_{1}
. Тогда B_{1}K
— высота прямоугольного треугольника SB_{1}S_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
B_{1}K^{2}=SK\cdot KS_{1},~\mbox{или}~4b^{2}=4b(2R-4b),
откуда R=\frac{5}{2}b
. Следовательно,
\sin\alpha=\sin\angle SAO=\frac{SO}{SA}=\frac{R}{SA}=\frac{\frac{5}{2}b}{4b}=\frac{5}{8},
а так как угол острый, то \alpha=\arcsin\frac{5}{8}
.