9919. Ребро куба равно a
. Найдите радиус шара, касающегося отрезков, соединяющих середины скрещивающихся рёбер куба.
Ответ. \frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и A_{1}D_{1}
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром a
, O
— центр куба, т. е. точка пересечения его диагоналей. Тогда
OM=ON=\frac{a\sqrt{2}}{2},~MN=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+a^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=a\sqrt{\frac{3}{2}}
(см. теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда).
Проведём высоту OH
равнобедренного треугольника MON
. Тогда
OH=\sqrt{OM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}a^{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}.
Поскольку все упомянутые в условии отрезки равны, а точка O
фиксирована, все равнобедренные треугольники с вершиной O
, аналогичные треугольнику MON
, равны. Значит, равны их высоты, опущенные из общей вершины O
, т. е. точка O
равноудалена от всех рассматриваемых отрезков. Следовательно, O
— центр шара, касающегося всех таких отрезков, а радиус шара равен \frac{a\sqrt{2}}{4}
.