9920. Перпендикулярные прямые
a
и
b
лежат в плоскости
\pi
, прямая
m
образует с плоскостью
\pi
угол
\gamma
, а с прямыми
a
и
b
— углы
\alpha
и
\beta
соответственно. Докажите, что
\cos^{2}\gamma=\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta
.
Решение. Если прямая
m
лежит в плоскости
\pi
, параллельна или перпендикулярна ей, утверждение очевидно.
Пусть
m
— наклонная к плоскости. Будем считать, что прямая
m
проходит через точку пересечения прямых
a
и
b
. Отложим на прямой
m
отрезок
CE=1
. Пусть
EH
— перпендикуляр к плоскости
\pi
, а
EA
и
EB
— перпендикуляры к прямым
a
и
b
соответственно. Тогда прямая
CH
— ортогональная проекция прямой
m
на плоскость
\pi
, поэтому
\angle ECH=\gamma
и
CH=\cos\gamma
, а так как углы прямой
m
с прямыми
a
и
b
равны
\alpha
и
\beta
, то
CA=\cos\alpha
и
CB=\cos\beta
. Четырёхугольник
ACBH
— прямоугольник, следовательно,
\cos^{2}\gamma=CH^{2}=CA^{2}+CB^{2}=\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta.

Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 13.40, с. 152