9923. Ребро AD
тетраэдра DABC
перпендикулярно плоскости ABC
. Отрезки AM
и BK
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Известно, что \angle ACB=45^{\circ}
, AD=4
, AC=4\sqrt{2}
. Найдите угол между прямыми BK
и DM
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть MH
— перпендикуляр к AC
. Тогда MH\parallel BK
, поэтому угол между скрещивающимися прямыми BK
и DM
равен углу между пересекающимися прямыми MH
и DM
. Угол при вершине C
прямоугольного треугольника AMC
равен 45^{\circ}
, значит, этот треугольник равнобедренный,
CM=AM=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=4.
Острый угол при вершине C
прямоугольного треугольника MHC
равен 45^{\circ}
, значит, этот треугольник равнобедренный, MH=CH=2\sqrt{2}
. Прямая BK
перпендикулярна пересекающимся прямым AC
и AD
плоскости ACD
, поэтому прямая BK
перпендикулярна этой плоскости. Тогда прямая MH
, параллельная BK
, тоже перпендикулярна плоскости ACD
. Значит, \angle DHM=90^{\circ}
, т. е. треугольник DHM
прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике DAH
известны катеты
AD=4,~AH=AC-CH=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2},
поэтому
DH=\sqrt{AD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}.
Значит,
\tg\angle DMH=\frac{DH}{MH}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}.
Значит, \angle DMH=60^{\circ}
. Следовательно, угол между прямыми BK
и DM
равен 60^{\circ}
.