9924. Прямая l
образует равные углы с двумя пересекающимися прямыми l_{1}
и l_{2}
плоскости \varphi
, причём она не перпендикулярна этой плоскости. Докажите, что ортогональная проекция прямой l
на плоскость \varphi
тоже образует равные углы с прямыми l_{1}
и l_{2}
.
Решение. Достаточно рассмотреть случай, когда прямая l
проходит через точку O
пересечения прямых l_{1}
и l_{2}
. Пусть A
— произвольная точка прямой l
, отличная от O
, AH
— перпендикуляр к плоскости \varphi
, а AP
и AQ
— перпендикуляры к l_{1}
и l_{2}
соответственно.
По теореме о трёх перпендикулярах HP\perp l_{1}
и HQ\perp l_{2}
. Прямоугольные треугольники APO
и AQO
равны по общей гипотенузе OA
и острому углу, поэтому OP=OQ
. Тогда прямоугольные треугольнике HPO
и HQO
равны по катету и общей гипотенузе, поэтому \angle HOP=\angle HOQ
, т. е. ортогональная проекция OH
прямой l
на плоскость \varphi
образует равные углы с прямыми OP
и OA
, т. е. с прямыми l_{1}
и l_{2}
.
Примечание. Очевидно, обратное утверждение тоже верно, т. е. если ортогональная проекция прямой l
на плоскость \varphi
образует равные углы с прямыми l_{1}
и l_{2}
, то и прямая l
образует равные углы с l_{1}
и l_{2}
.