9953. Параллельные прямые a
, b
и c
не лежат в одной плоскости. Расстояние между прямыми a
и b
равно 25, а расстояние между прямыми b
и c
— 17. Расстояние между прямой b
и плоскостью, в которой лежат прямые a
и c
, равно 15. Найдите расстояние между прямыми a
и c
.
Ответ. 28 или 12.
Решение. Из произвольной точки B
прямой b
опустим перпендикуляр BH
на плоскость \alpha
, в которой лежат прямые a
и C
. Через точку H
в плоскости \alpha
проведём прямую, перпендикулярную a
и c
. Пусть она пересекает эти прямые в точках A
и C
соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах BA\perp HA
и BC\perp HC
, значит, длина отрезка BA
равна расстоянию между прямыми a
и b
, т. е. BA=25
, длина отрезка BC
равна расстоянию между прямыми b
и c
, т. е. BC=17
, а длина отрезка AC
равна искомому расстоянию между прямыми a
и c
.
Из прямоугольных треугольников AHB
и CHB
находим, что
AH=\sqrt{BA^{2}-BH^{2}}=\sqrt{25^{2}-15^{2}}=20,
CH=\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8.
Если точка H
лежит между A
и C
, то
AC=AH+CH=20+8=28.
Если точка H
лежит вне отрезка AC
, то
AC=|AH-CH|=20-8=12.