9954. В треугольнике ABC
стороны AB
и AC
равны 13, сторона BC
равна 10. Точка K
удалена от плоскости ABC
на расстояние, равное 8, а от вершины A
— на расстояние, равное 10. Известно, что прямые AK
и BC
перпендикулярны. Найдите расстояние от точки K
до прямой BC
.
Ответ. 10 или 2\sqrt{97}
.
Решение. Пусть KH
— перпендикуляр к плоскости ABC
, AM
— высота, а значит, и медиана равнобедренного треугольника ABC
. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Наклонная KA
перпендикулярна прямой BC
плоскости ABC
, а KH
— ортогональная проекция прямой KA
на эту плоскость, значит, по теореме о трёх перпендикулярах AH\perp BC
. Следовательно, точка H
лежит на прямой AM
. Из прямоугольного треугольника AHK
находим, что
AH=\sqrt{AK^{2}-KH^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6.
Поскольку AH\lt AM
, точка H
не может лежать на продолжении отрезка AM
за точку M
.
Если точка точка H
лежит между A
и M
, то
MH=AM-AH=12-6=6=AH,
значит, высота KH
треугольника AKM
является медианой. Тогда KM=AK=10
.
Если же точка H
лежит на продолжении отрезка AM
за точку A
, то
MH=AM+AH=12+6=18.
Следовательно,
KM=\sqrt{KH^{2}+MH^{2}}=\sqrt{8^{2}+18^{2}}=2\sqrt{97}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 12.30, с. 144