9967. Основание пирамиды PABCD
— ромб ABCD
со стороной a
. Плоскости боковых граней ASB
и BSC
перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при SB
тупой и равен \alpha
. Угол между плоскостью ASD
и плоскостью основания равен \beta
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Ответ. \frac{a^{2}\sin\alpha(\sin\beta+1)}{\cos\beta}
.
Решение. Плоскости ASB
и BSC
перпендикулярны плоскости основания ABCD
и пересекаются по прямой SB
, значит, SB
— перпендикуляр к плоскости основания (см. задачу 9104). Тогда SB\perp AB
и SB\perp BC
, поэтому ABC
— линейный угол при ребре SB
пирамиды. По условию \angle ABC=\alpha\gt90^{\circ}
, значит, \angle BAD=180^{\circ}-\alpha\lt90^{\circ}
.
Пусть BK
— перпендикуляр к AD
. По теореме о трёх перпендикулярах SK\perp AD
, поэтому BKS
— линейный угол при ребре AD
пирамиды. По условию \angle BKS=\beta
.
Из прямоугольных треугольников ABK
и SBK
находим, что
BK=AB\sin(180^{\circ}-\alpha)=a\sin\alpha,~SB=BK\tg\beta=a\sin\alpha\tg\beta,
SK=\frac{BK}{\cos\beta}=\frac{a\sin\alpha}{\cos\beta}.
Отрезок SB
— высота равных прямоугольных треугольников ABS
и CBS
, а SK
— высота равных треугольников ASD
и CSD
. Следовательно,
S_{\mbox{бок.}}=2S_{\triangle ABS}+2S_{\triangle ASD}=AB\cdot SB+AD\cdot SK=a\cdot a\sin\alpha\tg\beta+a\cdot\frac{a\sin\alpha}{\cos\beta}=
=a^{2}\sin\alpha\left(\tg\beta+\frac{1}{\cos\beta}\right)=\frac{a^{2}\sin\alpha(\sin\beta+1)}{\cos\beta}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — 21.36, с. 228