9974. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
с вершиной S
равны 2. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и AB
соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
перпендикулярно прямой CN
, и найдите площадь сечения.
Ответ. \frac{3\sqrt{10}}{16}
.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды, M_{1}
— ортогональная проекция точки M
на плоскость основания пирамиды. Тогда M_{1}
— середина отрезка AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}
. Опустим перпендикуляр M_{1}N
на прямую CN
. Пусть прямая M_{1}N
пересекает рёбра AD
и AB
в точках P
и Q
соответственно. Тогда треугольник PMQ
— сечение, о котором говорится в условии.
На проекционном чертеже можно построить это сечение следующим образом. Строим центр O
квадрата, затем — середину M_{1}
отрезка AO
, затем проводим через точку M
прямую параллельную SO
. Точка M
пересечения этой прямой с отрезком SA
— вершина искомого сечения.
Строим середину T
отрезка AD
, затем через точку M_{1}
проводим прямую, параллельную BT
. Точки пересечения этой прямой с отрезками AD
и AB
— вершины P
и Q
искомого сечения PMQ
.
Заметим, что отрезки BT
и CN
равны и перпендикулярны, а PQ\parallel BT
. Пусть отрезки BT
и CN
пересекаются в точке K
. Треугольники AKT
и CKB
подобны с коэффициентом \frac{AT}{CB}=\frac{1}{2}
, поэтому AK=\frac{1}{3}AC
, а так как AM=\frac{1}{4}AC
, то треугольник PAQ
подобен треугольнику TAB
с коэффициентом
\frac{AM}{AK}=\frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{1}{3}AC}=\frac{3}{4}.
Следовательно,
PQ=\frac{3}{4}BT=\frac{3}{4}CN=\frac{3}{4}\sqrt{BC^{2}+CN^{2}}=\frac{3}{4}\sqrt{4+1}=\frac{3\sqrt{5}}{4}.
Из прямоугольного треугольника AOS
находим, что
SO=\sqrt{SC^{2}-CO^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2},
а так как MM_{1}
— средняя линия треугольника AOS
, то MM_{1}=\frac{1}{2}SO=\frac{\sqrt{2}}{2}
. Отрезок MM_{1}
— высота треугольника PMQ
, следовательно,
S_{\triangle PMQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot MM_{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{5}}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{16}.