9975. Три шара радиуса r
лежат на нижнем основании цилиндра, причём каждый из них касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Четвёртый шар лежит на этих трёх шарах, касаясь боковой поверхности цилиндра и его верхнего основания. Найдите высоту цилиндра.
Ответ. \frac{2r}{3}(3+\sqrt{3}+\sqrt{9+6\sqrt{3}})
.
Решение. Пусть A
, B
и C
— центры трёх первых шаров, D
— центр четвёртого, O
— центр окружности сечения цилиндра плоскостью ABC
, h
— искомая высота цилиндра, R
— радиус четвёртого шара (т. е. радиус цилиндра). Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому в треугольнике AOB
известно, что
OA=OB=R-r,~AB=2r,~\angle AOB=120^{\circ}.
Значит, 2r=(R-r)\sqrt{3}
, откуда R=r\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+1\right)
.
Поскольку DA=DB=DC
, а треугольник ABC
равносторонний с центром O
, отрезок DO
— высота правильной пирамиды ABCD
с вершиной D
. Тогда
DO=\sqrt{DA^{2}-OA^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=
=\sqrt{r^{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+2\right)^{2}-\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=2r\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}+1}.
Следовательно,
h=r+DO+R=r+2r\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}+1}+r\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+1\right)=\frac{2r}{3}\left(3+\sqrt{3}+\sqrt{9+6\sqrt{3}}\right).
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — пример 10.5, с. 345