9976. На плоскости лежат четыре равных шара, причём три из них попарно касаются друг друга, а четвёртый касается двух из этих трёх. На эти шары сверху положили ещё два равных шара меньшего радиуса, касающиеся друг друга, причём каждый из них касается трёх больших шаров. Найдите отношение радиусов большого и малого шаров.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— точки касания с данной плоскостью больших шаров радиуса R
, O_{1}
и O_{2}
— малых шаров радиуса r
(первый малый шар касается первых трёх больших), а точки A
, B
и C
— вершины равностороннего треугольника со стороной 2R
. Точка O_{1}
равноудалена от A
, B
и C
, значит, O_{1}
— центр равностороннего треугольника ABC
. Аналогично, O_{2}
— центр равностороннего треугольника BCD
, а так как малые шары касаются между собой, причём линия их центров параллельна данной плоскости, то их проекции на эту плоскость касаются отрезка BC
в одной и той же точке — середине BC
. Значит, проекции малых шаров — окружности радиусов r
, вписанные в равносторонние треугольники ABC
и BCD
. Следовательно, r=\frac{2R}{2\sqrt{3}}
, откуда \frac{R}{r}=\sqrt{3}
.
Источник: Калинин А. Ю., Терёшин Д. А. Геометрия. 10—11 классы. — М.: МЦНМО, 2011. — пример 10.4, с. 344