9983. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AA_{1}
и BB_{1}
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. На отрезках BM
и AC_{1}
отмечены точки P
и K
соответственно, причём PK\parallel CN
. Найдите отношение PK:CN
.
Ответ. 1:4
.
Решение. Заметим, что отрезок PK
, о котором говорится в условии, — единственный, так как BM
и AC_{1}
— скрещивающиеся прямые: если бы другой отрезок с концами P_{1}
и K_{1}
на прямых соответственно BM
и AC_{1}
удовлетворял условию задачи, то прямые PK
и P_{1}K_{1}
были параллельны, и прямые BM
и AC_{1}
лежали бы в одной плоскости.
Из параллельности следует, что PK
и CN
лежат в одной плоскости. Пусть эта плоскость пересекает прямую AA_{1}
в точке L
. Тогда \frac{LP}{PN}=\frac{LK}{KC}
. Обозначим \frac{AL}{AM}=x
. Из подобия треугольников MPL
и BPN
получаем, что
\frac{LP}{PN}=\frac{LM}{BN}=\frac{(1-x)AM}{AM}=1-x.
Из подобия треугольников AKL
и C_{1}KC
получаем, что
\frac{LK}{KC}=\frac{AL}{CC_{1}}=\frac{xAM}{2AM}=\frac{x}{2},
а так как \frac{LP}{PN}=\frac{LK}{KC}
, то 1-x=\frac{x}{2}
, откуда x=\frac{2}{3}
. Значит,
\frac{LP}{PN}=\frac{LK}{KC}=\frac{x}{2}=\frac{1}{3}.
Следовательно, \frac{PK}{CN}=\frac{1}{4}
.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 10 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 5.53, с. 59