9984. Точка M
— середина ребра CC_{1}
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. На отрезках BM
и CA_{1}
отмечены точки E
и F
соответственно, причём EF\parallel AB_{1}
. Найдите отношение EF:AB_{1}
.
Ответ. 1:5
.
Решение. Заметим, что отрезок EF
, о котором говорится в условии, — единственный, так как BM
и CA_{1}
— скрещивающиеся прямые: если бы другой отрезок с концами E_{1}
и F_{1}
на прямых соответственно BM
и CA_{1}
удовлетворял условию задачи, то прямые EF
и E_{1}F_{1}
были параллельны, и прямые BM
и CA_{1}
лежали бы в одной плоскости.
Из параллельности следует, что FE
и AB_{1}
лежат в одной плоскости. Пусть эта плоскость пересекает прямую CC_{1}
в точке L
. Тогда \frac{LF}{FA}=\frac{LE}{EB_{1}}
. Обозначим \frac{CL}{CM}=x
. Из подобия треугольников MEL
и BEB_{1}
получаем, что
\frac{LE}{EB_{1}}=\frac{LM}{BB_{1}}=\frac{(1-x)CM}{2CM}=\frac{1-x}{2}.
Из подобия треугольников CFL
и A_{1}FA
получаем, что
\frac{LF}{FA}=\frac{CL}{AA_{1}}=\frac{xCM}{2CM}=\frac{x}{2},
а так как \frac{LE}{EB_{1}}=\frac{LF}{FA}
, то \frac{1-x}{2}=\frac{x}{2}
, откуда x=\frac{1}{2}
. Значит,
\frac{LE}{EB_{1}}=\frac{LF}{FA}=\frac{x}{2}=\frac{1}{4}.
Следовательно, \frac{EF}{AB}=\frac{1}{5}
.