9985. Основание призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
(\angle ACB=90^{\circ}
) с катетом AC=a
. Грани AA_{1}C_{1}C
и CC_{1}B_{1}B
— квадраты. Точка M
— середина ребра BC
. Постройте сечения призмы плоскостью, проходящей через точку M
и перпендикулярной прямой A_{1}B
. Найдите площадь сечения.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}
.
Решение. Поскольку CC_{1}\perp AC
и CC_{1}\perp BC
, прямая CC_{1}
перпендикулярна плоскости основания призмы, т. е. призма прямая. Пусть MN
— перпендикуляр к AB
, L
— середина AB
, а P
— точка пересечения отрезков BA_{1}
и B_{1}L
. Тогда MN\parallel CL
и N
— середина отрезка BL
. При этом CL
— перпендикуляр к плоскости грани AA_{1}B_{1}B
, значит, MN
— тоже перпендикуляр к этой плоскости, и MN\perp BA_{1}
.
Обозначим \angle BB_{1}L=\alpha
. Из прямоугольных треугольников BB_{1}L
и A_{1}B_{1}B
получаем
\tg\alpha=\tg\angle BB_{1}L=\frac{BL}{BB_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}},~\tg\angle BA_{1}B_{1}=\frac{BB_{1}}{A_{1}B_{1}}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
поэтому \angle BB_{1}P=\angle BA_{1}B_{1}=\alpha
. Значит,
\angle A_{1}BB_{1}=90^{\circ}-\alpha,~\angle BPB_{1}=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. LB_{1}\perp BA_{1}
.
Пусть NK
— средняя линия треугольника BLB_{1}
. Тогда NK\parallel LB_{1}
, поэтому NK\perp BA_{1}
, а так как MN\perp BA_{1}
, то плоскость MNK
перпендикулярна прямой BA_{1}
.
Таким образом, сечение призмы, о котором говорится в условии задачи, — прямоугольный треугольник MNK
с прямым углом при вершине N
, где N
— точка, делящая ребро AB
в отношении AN:NB=3:1
, а K
— середина ребра BB_{1}
. Вершины этого треугольника можно построить с помощью циркуля и линейки, используя теорему о пропорциональных отрезках.
Из прямоугольных треугольников ABC
и BLB_{1}
находим, что
CL=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{2}}{2},~LB{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+BL^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Тогда
MN=\frac{1}{2}CL=\frac{a\sqrt{2}}{4},~NK=\frac{1}{2}LB_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle MNK}=\frac{1}{2}MN\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}.