9997. Точки M
, N
и K
— середины рёбер соответственно BC
, B_{1}A_{1}
и AC
призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Найдите угол между прямыми CB_{1}
и BA_{1}
, если известно, что MN=BK
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Отметим середину P
ребра BB_{1}
. Отрезки PM
и PN
— средние линии треугольников CBB_{1}
и BB_{1}A_{1}
, поэтому PM\parallel CB_{1}
и PN\parallel BA_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми CB_{1}
и BA_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми PM
и PN
, т. е. углу MPN
или смежному с ним углу.
Отрезок KM
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому KM=\frac{1}{2}AB
и KM\parallel AB
. Пусть Q
— точка пересечения прямых AB
и PN
, лежащих в плоскости грани AA_{1}B_{1}B
. Треугольники BPQ
и B_{1}PN
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому PN=PQ
,
BQ=B_{1}N=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}AB=KM
и BQ\parallel KM
. Значит, BQMK
— параллелограмм. Тогда QM=BK=MN
, т. е. треугольник QMN
равнобедренный. Его медиана MP
является высотой, следовательно, \angle MPN=90^{\circ}
.