ПЛАКАТИКИ
Плакатики по математике для украшения кабинета. Размер 1360×2220 мм (в 14 кабинете 57 школы Москвы — от потолка до уровня парт). По приведённым на странице ссылкам можно скачивать pdf-файлы для заказа таких плакатиков в любой конторе широкоформатной печати (указанных размеров или пропорциональных им). Возможно оставить заявку на изготовление плакатиков и пересылку вам по почте (кнопка внизу страницы).

Скачать pdf (5 681 709 байт)
Конические сечения
Эллипс — множество точек
M
плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек
F_1
и
F_2
(фокусов) постоянна:
\{M\colon MF_1+MF_2=2a\}.
Или, что то же самое, эллипс — множество точек
M
плоскости, отношение расстояний которых до данных точки
F_1
и прямой
d_1
(директрисы) равна фиксированному числу
\epsilon\lt1
(эксцентриситету):
\left\{M\colon\frac{MF_1}{\rho(M,d_1)}=\epsilon\lt1\right\}.
Каждому из фокусов эллипса соответствует своя директриса:
\frac{MF_1}{\rho(M,d_1)}=\epsilon=\frac{MF_2}{\rho(M,d_2)}.

Парабола — множество точек
M
плоскости, расстояния которых до данных точки
F
(фокуса) и прямой
d
(директрисы) равны:
\{M\colon MF=\rho(M,d)\}.
Эксцентриситет
\epsilon
параболы равен 1.
Гипербола — множество точек
M
плоскости, для которых разность расстояний до двух данных точек
F_1
и
F_2
(фокусов) постоянна:
\{M\colon |MF_1-MF_2|=2a\}.
Или, что то же самое, гипербола — множество точек
M
плоскости, отношение расстояний которых до данных точки
F_1
и прямой
d_1
(директрисы) равна данному числу
\epsilon\gt1
(эксцентриситету):
\left\{M\colon\frac{MF_1}{\rho(M,d_1)}=\epsilon\gt1\right\}.
Каждому из фокусов гиперболы соответствует своя директриса:
\frac{MF_1}{\rho(M,d_1)}=\epsilon=\frac{MF_2}{\rho(M,d_2)}.

Конические сечения — невырожденные кривые, которые получаются в сечении круговой конической поверхности. Вырожденные сечения (секущая плоскость проходит через вершину конуса): точка, прямая (двойная прямая), пара прямых. Невырожденные сечения (секущая плоскость не проходит через вершину конуса): эллипс, парабола, гипербола.
Сферы Данделена — вписанные в конус или цилиндр сферы (одна в случае параболы, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих), касающиеся секущей плоскости. Точки касания служат фокусами, а директрисами являются прямые пересечения секущей плоскости с плоскостями, в которых лежат окружности касания сфер Данделена и конуса или цилиндра.

Скачать pdf (7 736 924 байт)
Геометрические интерпретации неравенств о средних
\frac{2ab}{a+b}
{}\le{}
\sqrt{ab}
{}\le{}
\frac{a+b}2
{}\le{}
\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}
среднее
гармоническое		 среднее
геометрическое		 среднее
арифметическое		 среднее
квадратическое
(квадратичное)
1. Точка
M
лежит вне окружности с центром
O.
Прямая
OM
пересекает окружность в точках
A
и
B,
причём
MA=a
и
MB=b.
Прямая, проходящая через точку
M,
касается окружности в точке
C,
точка
H~\tire
проекция точки
C
на
AB,
а перпендикуляр к
AB,
восставленный в точке
O,
пересекает окружность в точке
P.
Тогда
MO=\frac{a+b}2,
MC=\sqrt{ab},
MH=\frac{2ab}{a+b},
MP=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}.

2. В трапеции
ABCD
проведены четыре отрезка, параллельные основаниям
BC=a
и
AD=b\colon
PQ,
проходящий через точку пересечения диагоналей;
EF,
разделяющий трапецию на две подобные трапеции
EBCF
и
AEFD;
MN,
проходящий через середины боковых сторон;
GH,
разделяющий трапецию на две равновеликие части. Тогда
PQ=\frac{2ab}{a+b},
EF=\sqrt{ab},
MN=\frac{a+b}2,
GH=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}.

3. Точка
C
лежит на отрезке
AB,
причём
AC=a,
BC=b.
Перпендикуляры к
AB,
восставленные из точки
C
и середины
O
отрезка
AB,
пересекают полуокружность с диаметром
AB
в точках
D
и
F
соответственно,
CE~\tire
высота прямоугольного треугольника
OCD.
Тогда
OF=\frac{a+b}2,
CD=\sqrt{ab},
DE=\frac{2ab}{a+b},
CF=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}.

4. Окружность вписана в равнобедренную трапецию
ABCD
с основаниями
BC=a
и
AD=b.
Точка
H~\tire
проекция вершины
B
на
AD,
точка
P~\tire
проекция точки
H
на
AB,
точка
F
лежит на отрезке
BH,
причём
FH=AH.
Тогда
AB=CD=DH=\frac{a+b}2,
BH=\sqrt{ab},
BP=\frac{2ab}{a+b},
FD=\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}.

Скачать pdf (7 830 972 байт)
Принцип Кавальери
1. Если две фигуры можно так расположить на плоскости, что любая прямая, параллельная заданной, пересекает эти фигуры по равным отрезкам, то площади фигур равны. 2. Если два тела можно так расположить в пространстве, что любая плоскость, параллельная заданной, пересекает эти два тела по равновеликим фигурам, то объёмы тел равны. 3. Если два тела можно так расположить в пространстве, что любая плоскость, параллельная заданной, пересекает эти два тела по фигурам, отношение площадей которых равно k, то отношение объёмов тел также равно k.
Циклоида — траектория точки на ободе катящегося по прямой колеса. Параметрическое представление:
x=t-\sin t,
y=1-\cos t
(радиус колеса считаем единичным). Площадь под графиком
y=1-\cos x
равна
2\pi
(площади прямоугольника
2\pi\times1).
Площадь «лепестков» равна площади единичного круга, т. е.
\pi.
Значит, площадь под «аркой» циклоиды равна
3\pi.

Пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики (сечения — подобные основаням многоугольники). Следствие: объём пирамиды
ABCD
равен третьей части объёма призмы
ABCDB_1C_1
с основаниями
ABC
и
DB_1C_1,
так как пирамиды
ABCD,
BCC_1D
и
BB_1C_1D
равновелики.
Полушар радиуса
R
равновелик телу, полученному из цилиндра радиуса
R
и высотой
R
удалением конуса с теми же основанием и высотой. Следствия: а) объём шара радиуса
R
равен
\frac43\pi R^3;
б) объём шарового сегмента радиуса
R
и высотой
h\lt R
равен
\pi h^2\left(R-\frac h3\right).

Тор — поверхность, полученная вращением окружности радиуса
r
вокруг прямой, лежащей в плоскости и окружности и отстоящей от центра на расстояние
R\gt r
. Объём «бублика», ограниченного тором, равен объёму цилиндра радиуса
r
и высотой
2\pi R,
т. е.
2\pi^2Rr^2.

Хорда разбивает круг на два сегмента. Тело, полученное вращением меньшего сегмента вокруг диаметра, параллельного этой хорде, называется шаровым кольцом (в шаре просверлено отверстие вдоль диаметра). Объём шарового кольца равен объёму шара с радиусом, вдвое меньшим хорды.
Объём пересечения
P
двух бесконечных цилиндров радиуса
R,
оси которых пересекаются под прямым углом, равен
\frac4\pi\cdot\frac43\pi R^3=\frac{16}3R^3,
так как отношение площадей сечений тела
P
и вписанного в него шара плоскостью, параллельной осям цилиндров, — квадрата и его вписанного круга — равно
4:\pi.

Скачать pdf (39 096 байт)
Что должен знать о треугольнике каждый матшкольник
«Маленький» плакатик размером 1000×700 мм.
В центре. Треугольник
ABC;
AA_1,
BB_1,
CC_1~\tire
высоты;
H~\tire
ортоцентр;
A_2,
B_2,
C_2~\tire
точки, симметричные
H
относительно сторон;
A_3~\tire
точка, симметричная
H
относительно середины
P
стороны
BC
;
M
и
O~\tire
точка пересечения медиан и центр описанной окружности треугольника
ABC
соответственно.
1) Треугольник
AB_1C_1
подобен треугольнику
ABC
с коэффициентом
|{\cos A}|.

2) Углы
HAB
и
OAC
равны; поэтому точки
H
и
O
изогонально сопряжены.
3) Треугольник
AHB
подобен треугольнику
POQ
с коэффициентом
\frac12.

4) Треугольник
AHM
подобен треугольнику
POM
с коэффициентом
\frac12.

5) Точки
H,
M,
и
O
лежат на одной прямой, причём
HM:MO=2:1
(прямая Эйлера).
6) Точки
A_2,
B_2
,
C_2
и
A_3
лежат на описанной окружности, причём
AA_3~\tire
диаметр.
7) Прямая
B_1C_1
параллельна касательной к описанной окружности, проведённой в точке
A,
и перпендикулярна радиусу
OA.

Слева снизу. Середины сторон, основания высот, а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности (окружность Эйлера или окружность девяти точек). Эта окружность гомотетична описанной окружности с центром в ортоцентре и коэффициентом
\frac12.

Справа снизу.
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
(теорема Гамильтона). Поскольку
\overrightarrow{OM}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}),
то точки
H,
M,
и
O
лежат на одной прямой, причём
OM:MH=1:2.

Справа сверху. Высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника.
Слева сверху. Отношение
\frac Rr
радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника равно отношению
\frac{p}{p'}
полупериметров самого треугольника и его ортотреугольника.

Скачать pdf (246 599 байт)
Перечисление объектов. Гамильтоновы пути
Плакатик для кабинета информатики. Идею предложил Роман Валерьевич Гусарев.
Перебор всех последовательностей из чисел
0\,.\,.\,m
заданной длины
n
в таком порядке, чтобы каждая следующая отличалась от предыдущей только одной цифрой и не более, чем на единицу. На рисунках показаны примеры таких переборов бинарных
(m=1)
последовательностей длины
n=1,
2, 3 и 4.
Перечисление всех перестановок
n
элементов в таком порядке, чтобы каждая следующая перестановка получалась из предыдущей одной транспозицией соседних элементов. На рисунке вершины графа — перестановки
n=4
элементов. Две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие перестановки отличаются одной транспозицией соседних элеметов. Стрелками показан порядок перечисления, соответствующий одному из возможных алгоритмов.
Гамильтонов путь — путь, содержащий каждую вершину графа ровно один раз.    Гамильтонов цикл — гамильтонов путь, начальная и конечная вершина которого совпадают.
Все указанные графы имеют гамильтонов цикл.

Скачать pdf (461 233 байт)
Редакционное расстояние
Плакатик для кабинета информатики. Идею предложил Роман Валерьевич Гусарев.
Редакционное расстояние (расстояние Левенштейна) между строками
s
и
t~\tire
это минимальное количество операций замены (Change), вставки (Insert) или удаления (Delete) символа, которые надо совершить, чтобы перевести
s
в
t.

Задача о нахождении редакционного расстояния, как и любая задача динамического программирования, сводится к нахождению стоимости оптимального пути в ориентированном ациклическом графе подзадач.
Пусть
D_{i,\,j}~\tire
редакционное расстояние между префиксами
s[0\,.\,.\,i]
и
t[0\,.\,.\,j]
длин
i
и
j.
Ясно, что
D_{i,\,0}=i,
D_{0,\,j}=j.
Другие значения определяются рекуррентным соотношением
D_{i,\,j}=\syst{D_{i-1,\,j-1},&\mbox{если}~s[i]=t[j];\\1+\mbox{min}\{D_{i-1,\,j},D_{i,\,j-1},D_{i-1,\,j-1}\}&\mbox{иначе.}}

Пример:
s=\mbox{ЭССЕ},
t=\mbox{СЕТ},
редакционное расстояние равно 3.
Редакционное предписание — строка из символов M (Match), C (Change), I (Insert) и D (Delete), описывающая последовательность действий, необходимых для получения одной строки из другой, и содержащая минимальное количество букв C, I, D.
Редакционное предписание можно получить, выполнив обратный ход по вычисленной таблице расстояний.
Начиная с правого нижнего угла таблицы, рисуем стрелки во все соседние клетки, соответствующие подзадачам меньшего размера и меньшим редакционным расстояниям, или по диагонали из клетки, соответствующей одинаковым буквам («бесплатный переход»).
Движение вверх означает вставку буквы в исходное слово (I), движение влево — удаление буквы (D), движение по диагонали — это либо замена буквы (C), либо «бесплатный переход» в случае совпадения букв (M).
Количество возможных редакционных предписаний равно количеству путей в графе подзадач, имеющих минимальную стоимость.
Варианты задачи:
1. Разные цены замены, вставки, удаления букв, а также «бесплатного перехода» при их совпадении. Например, задача о расстоянии Хэмминга и задача о длине наибольшей общей подпоследовательности — это частные случаи задачи о редакционном расстоянии.
2. Расстояние Дамерау—Левенштейна: добавляется операция перестановки соседних букв.

Скачать pdf (7 912 670 байт)
Числа Каталана
Очень большой плакатик (3,5 × 2,5 м). По материалам неопубликованной книги Александра Васильевича Спивака.
Числа Каталана — последовательность
C_0=C_1=1,
C_2=2,
C_3=5,
C_4=14,
C_5=42,
…, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
C_{n+1}=C_0C_n+C_1C_{n-1}+\dots+C_nC_0.

Оно сложнее, чем равенство
F_{n+2}=F_n+F_{n+1},
задающее знаменитую последовательность Фибоначчи
F_1=F_2=1,
F_3=2,
F_4=3,
F_5=5,
F_6=8,
F_7=13,
…, но числа Каталана встречаются в комбинаторике не реже, чем числа Фибоначчи.
Числу Каталана
C_n
равно:
— количество триангуляций (разбиений на треугольники) выпуклого
(n+2)\defis
угольника;
— количество корневых бинарных деревьев с
n+1
листьями, а также число способов вычислить произведение
n+1
сомножителей;
— количество полимино ширины
n+1
с «диагональной» осью симметрии, а также число правильных расстановок
n
пар скобок;
— количество «устойчивых» полениц с
n
поленьями в основании.
Можно проверить (например, по индукции), что для
n\defis\hbox{го}
числа Каталана верна явная формула
C_n=\frac1{2n+1}\,\binom{2n+1}n=\frac1{n+1}\,\binom{2n}n,

где
\binom mk=\frac{m!}{k!\,(m-k)!}
(«число сочетаний из
m
по
k\hbox{»)}~\tire
количество способов выбрать
k
элементов из данного
m\defis
элеметного множества.
К числам
C_n
приводят также задачи о перечислении:
— корневых деревьев с
n
рёбрами;
— путей ладьи из одного угла доски
(n+1)\times(n+1)
в противоположный, не поднимающихся выше диагонали;
— способов соединить
2n
точек окружности
n
непересекающимися хордами;
— перестановок
n
чисел, в которых никакие три не идут в порядке убывания;
— перестановок
n
чисел, поддающихся сортировке при помощи стека.