55. В треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
, биссектрисы AD
и CE
пересекаются в точке O
. Докажите, что OD=OE
.
Указание. Найдите угол EOD
.
Решение. Поскольку
\angle EOD=\angle AOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle BCA)=
=180^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=120^{\circ},
то точки B
, E
, O
и D
лежат на одной окружности. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому BO
— биссектриса угла DBE
. Значит, точка O
— середина дуги DOE
. Следовательно, OD=OE
(см. задачу 805).
Примечание. Верно также следующее утверждение. Если биссектрисы AD
и CE
треугольника ABC
пересекаются в точке O
, а OD=OE
, то либо \angle A=\angle C
, либо \angle B=60^{\circ}
(см. задачу 11242).