11242. Биссектрисы BD
и CE
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Докажите, что если OD=OE
, то либо треугольник ABC
равнобедренный, либо \angle BAC=60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны 2\alpha
, 2\beta
и 2\gamma
соответственно, а также \angle AEO=\theta
и \angle ADO=\varphi
.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому AO
— биссектриса треугольника AEO
. Тогда по теореме синусов из треугольников AOE
и AOD
получаем
\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}=\frac{AO}{OE}=\frac{AO}{OD}=\frac{\sin\varphi}{\sin\alpha},
откуда \sin\theta=\sin\varphi
. Значит, либо \theta=\varphi
, либо \theta+\varphi=180^{\circ}
.
В первом случае по теореме о внешнем угле треугольника
2\beta+\gamma=\theta=\varphi=2\gamma+\beta~\Rightarrow~\gamma=\beta.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный.
Во втором —
180^{\circ}=\theta+\varphi=(2\beta+\gamma)+(2\gamma+\beta)=3(\gamma+\beta),
откуда
\beta+\gamma=60^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAC=2\alpha=180^{\circ}-2(\beta+\gamma)=60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Биссектрисы AK
и BM
треугольника ABC
пересекаются в точке O
. Докажите, что если OK=OM
, то либо углы A
и B
треугольника равны, либо угол C
равен 60^{\circ}
.
Второй способ. Пусть P
и Q
— проекции точки O
на стороны AB
и AC
соответственно. Если точка P
совпадает с E
, то Q
совпадает с D
, поэтому треугольник ABC
равносторонний. Тогда \angle A=60^{\circ}
.
Если точка P
лежит между A
и E
, то по теореме о внешнем угле треугольника острый угол PEO
прямоугольного треугольника OEP
равен
\angle PEO=\angle AEC=\angle B+\frac{1}{2}\angle C.
Если точка P
лежит между B
и E
, то
\angle PEO=\angle A+\frac{1}{2}\angle C.
Аналогично,
\angle QDO=\angle C+\frac{1}{2}\angle B~\mbox{либо}~\angle QDO=\angle A+\frac{1}{2}\angle B.
Прямоугольные треугольники PEO
и QDO
равны по катету и гипотенузе, значит, \angle PEO=\angle QDO
, т. е. либо
\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\angle C+\frac{1}{2}\angle B,
либо
\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\angle A+\frac{1}{2}\angle B.
В первом из этих случаев \angle B=\angle C
, во втором
\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C=\angle A~\Rightarrow~90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A=\angle A~\Rightarrow~\angle A=60^{\circ}.
Примечание. Верно также следующее утверждение. Если биссектрисы AK
и BM
треугольника ABC
пересекаются в точке O
, а угол C
равен 60^{\circ}
, то OK=OM
(см. задачу 55).