443. В четырёхугольник
ABCD
можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен
R
и
AB=2BC
.
Ответ.
\frac{8}{5}R^{2}
.
Указание. 1. Во вписанном четырёхугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями расстояние от центра описанной окружности до одной из сторон равно половине противоположной стороны.
2. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон (см. задачу 1344).
Решение. Первый способ. Обозначим
BC=x
. Тогда
AB=2x
. Пусть
O
— центр описанной окружности,
K
и
M
— середины
AD
и
DC
. Тогда
OK=\frac{1}{2}BC=\frac{x}{2},~OM=\frac{1}{2}AB=x,

AD=2DK=\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}},~CD=2MD=2\sqrt{R^{2}-x^{2}}.

Поскольку
AB+CD=BC+AD
, то
2x+2\sqrt{R^{2}-x^{2}}=x+2\sqrt{R^{2}-\frac{x^{2}}{4}}.

Отсюда находим, что
x=\frac{2R}{\sqrt{5}},~AB=\frac{4R}{\sqrt{5}},~AD=\frac{4R}{\sqrt{5}},~BC=\frac{2R}{\sqrt{5}},~CD=\frac{2R}{\sqrt{5}}.

Поэтому
AC
— биссектриса угла
BCD
и
\angle ABC=90^{\circ}
. Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника
ABC
, т. е.
\frac{8}{5}R^{2}
.
Второй способ. Обозначим
BC=x
,
AB=2x
,
AD=y
,
CD=z
. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а так как диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон (см. задачу 1344). Тогда
\syst{x+y=2x+z\\x^{2}+y^{2}=4x^{2}+z^{2}\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=y-z\\3x^{2}=y^{2}-z^{2}\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=y-z\\3x^{2}=(y-z)(y+z)\\}~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~\syst{x=y-z\\3x^{2}=x(y+z)\\}\Leftrightarrow~\syst{x=y-z\\3x=y+z\\}~\Leftrightarrow~\syst{y=2x\\z=x.\\}

Поэтому
BC=DC
и
BA=DA
, т. е. точки
A
и
C
равноудалены от концов отрезка
BD
. Значит, прямая
AC
— серединный перпендикуляр к хорде
BD
описанной окружности четырёхугольника
ABCD
. Следовательно,
AC
— диаметр этой окружности,
\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}
.
По теореме Пифагора
BC^{2}+AB^{2}=AC^{2},~\mbox{или}~x^{2}+4x^{2}=4R^{2},

откуда
x^{2}=\frac{4}{5}R^{2}
. Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2\cdot\frac{1}{2}BC\cdot AB=2x^{2}=\frac{8}{5}R^{2}.