995. Докажите, что четыре окружности, описанные около четырёх треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, имеют общую точку (точка Микеля).
Решение. Первый способ. Пусть прямые AB
, AC
и BC
пересекают четвёртую прямую в точках D
, E
и F
соответственно.
Пусть P
— точка пересечения окружностей, описанных около треугольников ABC
и CEF
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1. Обозначим \angle CPF=\alpha
, \angle BPC=\beta
. Тогда
\angle BPF=\alpha+\beta,~\angle AED=\angle CEF=\angle CPF=\alpha,
\angle BAE=\angle BAC=180^{\circ}-\angle BPC=180^{\circ}-\beta,
а так как BAE
— внешний угол треугольника DAE
, то
\angle BDF=\angle BDE=\angle BAE-\angle AED=180^{\circ}-\beta-\alpha.
Значит, сумма углов при противоположных вершинах P
и D
четырёхугольника DBPF
равна 180^{\circ}
. Поэтому точка P
лежит на окружности, описанной около треугольника BDF
. Аналогично докажем, что точка P
лежит на окружности, описанной около треугольника ADE
.
Аналогично для любого другого расположения четырёх прямых, образующих четыре треугольника.
Второй способ. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 2. Центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок CE
в отрезок BD
, есть отличная от A
точка O
пересечения описанных окружностей треугольников ADE
и ABC
(см. задачу 5599), а центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок BC
в отрезок DE
, есть отличная от F
точка O'
пересечения описанных окружностей треугольников CFE
и BFD
. Точки O
и O'
совпадают (см. задачу 6440), следовательно, все четыре окружности проходят через точку O
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Разбор случаев не нужен, если рассматривать ориентированные углы.