10005. Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
; O
— центр описанной окружности треугольника BHC
. Центр I
вписанной окружности треугольника ABC
лежит на отрезке OA
. Найдите угол BAC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. См. задачу 1743.
Решение. Луч AI
— биссектриса угла BAC
, а точка O
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
. Известно (см. задачу 1743), что серединный перпендикуляр к стороне неравнобедренного треугольника и биссектриса противолежащего угла пересекаются на описанной окружности треугольника. По условию точка O
лежит на биссектрисе AI
, следовательно, O
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle BHC=180^{\circ}-\alpha
, а так как этот угол вписан в окружность с центром O
, то дуга этой окружности, не содержащая точки H
, равна 360^{\circ}-2\alpha
. Значит, \angle BOC=2\alpha
.
Четырёхугольник ABOC
вписан в описанную окружность треугольника ABC
, поэтому \angle BAC+\angle BOC=180^{\circ}
, или \alpha+2\alpha=180^{\circ}
. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.