10026. Даны две окружности, пересекающиеся в точках A
и B
. Некоторая окружность касается первой в точке A
, пересекает вторую в точке M
и пересекает прямую AB
в точке P
(M
и P
отличны от B
). Докажите, что прямая MP
проходит через фиксированную точку плоскости (при любом изменении третьей окружности).
Решение. Пусть прямая MP
пересекает вторую окружность в точке K
(K
совпадает с M
, если прямая MP
касается этой окружности, в других случаях точка K
отлична от M
). Докажем, что прямая BK
касается первой окружности. Из этого будет следовать утверждение задачи, причём K
и будет искомой фиксированной точкой.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке, т. е. окружности касаются внешним образом, а точка K
лежит на продолжении отрезка MP
(другие случаи рассматриваются аналогично).
Пусть C
— точка, лежащая на общей касательной к первой и третьей окружностей, проведённой в их общей точке A
, причём C
и P
лежат по разные стороны от прямой AM
. Тогда
\angle KBA=180^{\circ}-\angle KMA=\angle AMP=\angle CAB
(см. задачи 6 и 87). Это значит, что прямая KB
образует с прямой AB
тот же угол, что и касательная CA
к первой окружности. Следовательно, прямая KB
касается этой окружности. Что и требовалось доказать.