10050. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоты AE
и BD
. Оказалось, что прямая DE
касается вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что радиус вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AB
, вдвое больше радиуса описанной окружности этого треугольника, т. е. r_{c}=2R
.
Решение. Обозначим \angle ACB=\gamma
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
, p'
— полупериметр треугольника EDC
. Пусть вписанная и указанная в условии вневписанная окружности касаются прямой BC
в точках P
и Q
соответственно, I_{c}
— центр этой вневписанной окружности.
Треугольник EDC
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\gamma
(см. задачу 19), поэтому (см. задачи 1750, 219 и 23)
p\cos\gamma=p'=CP=p-c=p-2R\sin\gamma,
откуда
R=\frac{p(1-\cos\gamma)}{2\sin\gamma}=\frac{2p\sin^{2}\frac{\gamma}{2}}{2\cdot2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}}=\frac{p}{2}\tg\frac{\gamma}{2}.
С другой стороны, CQ=p
(см. задачу 1750), а CI_{c}
— биссектриса угла ACB
, поэтому из прямоугольного треугольника CQI_{c}
получаем
r_{c}=I_{c}Q=CQ\tg\angle QCI_{c}=p\tg\frac{\gamma}{2}.
Следовательно, r_{c}=2R
. Что и требовалось доказать.