10066. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle DAB=90^{\circ}
. Пусть M
— середина стороны BC
. Оказалось. что \angle ADC=\angle BAM
. Докажите, что \angle ADB=\angle CAM
.
Решение. Первый способ. На продолжении отрезка AB
за точку A
отметим точку K
так, что AB=AK
(рис. 1). Тогда AM
— средняя линия в треугольнике BCK
, поэтому AM\parallel CK
. Значит,
\angle BKC=\angle BAM=\angle ADC.
Отсюда следует, что четырёхугольник AKDC
вписанный (см. задачу 12). Из параллельности прямых AM
и CK
, получаем также, что
\angle CAM=\angle ACK=\angle ADK.
Наконец, DA
— медиана и высота в треугольнике BDK
, поэтому DA
является и биссектрисой. Значит,
\angle ADB=\angle ADK=\angle CAM.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что
\angle ADC+\angle DAM=\angle BAM+\angle DAM=90^{\circ}.
Это значит, что AM\perp CD
(рис. 2).
Опустим перпендикуляры MN
и BP
из точек M
и B
на прямую CD
. Тогда точки A
, M
и N
лежат на одной прямой. Поскольку BM=MC
, по теореме Фалеса получаем, что PN=NC
. Значит, AN
— высота и медиана в треугольнике APC
, поэтому \angle CAM=\angle MAP
. Поскольку BP\parallel AN
, получаем, что \angle MAP=\angle APB
. Наконец, поскольку
\angle BPD=\angle BAD=90^{\circ},
четырёхугольник ABPD
вписанный, поэтому \angle APB=\angle ADB
. Итак, мы получили, что
\angle CAM=\angle MAP=\angle APB=\angle ADB.
Что и требовалось.
Третий способ. Отметим на луче AM
точку Q
так, что AQ=2AM
(рис. 3). Тогда в четырёхугольнике ABQC
диагонали делятся точкой пересечения пополам, т. е. это параллелограмм. Значит, \angle CAQ=\angle AQB
.
Поскольку QC\parallel AB
, получаем QC\perp AD
. Поскольку
\angle QAD=90^{\circ}-\angle BAQ=90^{\circ}-\angle ADC,
имеем DC\perp AQ
. Значит, C
— точка пересечения высот в треугольнике AQD
, поэтому AC\perp QD
(и, значит, BQ\perp QD
).
Поскольку
\angle BAD=\angle BQD=90^{\circ},
четырёхугольник ABQD
вписанный. Значит,
\angle ADB=\angle AQB=\angle CAQ.
Что и требовалось доказать.