10135. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин квадрата, до произвольной точки вписанной в него окружности, постоянна. Чему равна эта сумма, если сторона квадрата равна 2a
?
Ответ. 12a^{2}
.
Решение. Поместим начало координат в центр O
квадрата ABCD
(см. рис.), а оси Ox
и Oy
направим по лучам, параллельным соседним сторонам квадрата. Тогда уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид x^{2}+y^{2}=a^{2}
(см. задачу 4202), а вершины квадрата имеют координаты A(a;a)
, B(-a;a)
, C(-a;-a)
, D(a;-a)
.
Пусть M(x;y)
— произвольная точка на окружности, вписанной в квадрат. Тогда x^{2}+y^{2}=a^{2}
. Следовательно (см. задачу 4201),
MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=
=((x-a)^{2}+(y-a)^{2})+((x+a)^{2}+(y-a)^{2})+
((x+a)^{2}+(y+a)^{2})++((x-a)^{2}+(y+a)^{2})=
=4x^{2}+4y^{2}+8a^{2}=4(x^{2}+y^{2}+2a^{2})=4(a^{2}+2a^{2})=12a^{2}.
Что и требовалось.