10158. В трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
вписана окружность с центром O
.
а) Докажите, что \sin\angle AOD=\sin\angle BOC
.
б) Найдите площадь трапеции, если \angle BAD=90^{\circ}
, а основания равны 5 и 7.
Ответ. 35.
Решение. а) Известно, что \angle COD=\angle AOB=90^{\circ}
(см. задачу 313). Значит,
\angle AOD+\angle BOC=360^{\circ}-\angle AOD-\angle BOC=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно,
\sin\angle AOD=\sin(180^{\circ}-\angle BOC)=\sin\angle BOC.
б) Пусть окружность радиуса R
, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD
, касается оснований BC
и AD
в точках M
и N
соответственно, большей боковой стороны CD
— в точке K
, а меньшей боковой стороны AB
— в точке L
. Тогда OMBL
и ONAL
— квадраты со стороной R
. Значит,
BM=AN=R,~CK=CM=BC-BM=5-R,
DK=DN=AD-AN=7-R.
Радиус OK
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
OK^{2}=CK\cdot DK,~\mbox{или}~R^{2}=(5-R)(7-R),
откуда находим, что R=\frac{35}{12}
.
Боковая сторона AB=2R=\frac{35}{6}
— высота трапеции, следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AB=\frac{5+7}{2}\cdot\frac{35}{6}=35.