10176. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
взяты точки соответственно A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, причём прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке P
. Докажите, что прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q
.
Решение. Первый способ. Известно, что
\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\cdot\frac{BA_{1}}{A_{1}C}\cdot\frac{CB_{1}}{B_{1}A}=
=\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}
(см. задачу 1688). По условию задачи прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
симметричны прямым соответственно AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
относительно соответствующих биссектрис, поэтому
\angle ACC_{2}=\angle C_{1}CB,~\angle C_{2}CB=\angle ACC_{1}
и т. д. Значит,
\frac{\sin\angle ACC_{2}}{\sin\angle C_{2}CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_{2}}{\sin\angle A_{2}AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_{2}}{\sin\angle B_{2}BA}=\frac{\sin\angle C_{1}CB}{\sin\angle ACC_{1}}\cdot\frac{\sin\angle A_{1}AC}{\sin\angle BAA_{1}}\cdot\frac{\sin\angle B_{1}BA}{\sin\angle CBB_{1}}=
=\frac{C_{1}B}{AC_{1}}\cdot\frac{A_{1}C}{BA_{1}}\cdot\frac{B_{1}A}{CB_{1}}=1.
Следовательно,
\frac{AC_{2}}{C_{2}B}\cdot\frac{BA_{2}}{A_{2}C}\cdot\frac{CB_{2}}{B_{2}A}=1,
и по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке.
Второй способ. Пусть прямые AQ
и BQ
соответственно изогональны прямым AP
и BP
; P_{a}
, P_{b}
и P_{c}
— проекции точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно, Q_{a}
, Q_{b}
и Q_{c}
— проекции точки Q
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда по теореме Матье (см. задачу 11045)
PP_{b}\cdot QQ_{b}=PP_{c}\cdot QQ_{c}~\mbox{и}~PP_{a}\cdot QQ_{a}=PP_{c}\cdot QQ_{c},
откуда PP_{a}\cdot QQ_{a}=PP_{b}\cdot QQ_{b}
. Значит (см. примечание к задаче 11045), прямая CQ
изогональна прямой CP
. Отсюда следует доказываемое утверждение.
Примечание. 1. Такие точки P
и Q
называются изогонально сопряжёнными относительно треугольника ABC
. Точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан треугольника, называется точкой Лемуана.
Утверждение остаётся верным и в том случае, когда точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
взяты на продолжениях сторон, если только точка P
не лежит на описанной окружности S
треугольника ABC
. Если же точка P
окружности S
, то прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
параллельны (см. задачу 10596).
2. См. также статью П.Кожевникова «Изогонально сопряжённые точки», Квант, 2016, N1, с.46-49.
3. См. также статью Д.Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники», Квант, 2017, N9, с.38-44.