10242. В остроугольном треугольнике ABC
через центр I
вписанной окружности и вершину A
провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке P
. Найдите IP
, если \angle BAC=\alpha
, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
.
Ответ. 2R\sin\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности. Из условия задачи следует, что AP
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 1140). Значит,
\angle BOP=\angle BAC=\alpha.
Из равнобедренного треугольника BOP
находим, что
PB=2OB\sin\frac{1}{2}\angle BOP=2R\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
IP=PB=2R\sin\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 788).