10302. CA
и CB
— касательные к окружности в точках A
и B
соответственно, AD
— диаметр окружности. Прямые DB
и AC
пересекаются в точке E
. Докажите, что C
— середина отрезка AE
.
Решение. Точка B
лежит на окружности с диаметром AD
, значит, \angle ABD=90^{\circ}
. Тогда
\angle ABE=180^{\circ}-\angle ABD=90^{\circ}.
Пусть O
— центр окружности. Поскольку CA=CB
и OA=OB
, прямая OC
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 1129), а так как CO\parallel DE
и O
— середина отрезка AD
, то по теореме Фалеса C
— середина AE
. Что и требовалось доказать.