10309. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB
в точках C
и D
. Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.
Решение. Пусть третья окружность касается двух первых в точках X
, Y
, а общая касательная — в точках U
, V
(X
и U
на одной окружности). Поскольку X
— центр гомотетии касающихся окружностей, прямая XU
пересекает третью окружность в точке P
, касательная l
в которой параллельна UV
(см. задачу 6402). Аналогично прямая YV
проходит через точку P
.
Пусть E
— точка на касательной l
, причём точки E
и U
лежат по разные стороны от прямой PV
. Тогда
\angle PXY=\angle EPV=\angle YVU,
значит, точки X
, Y
, U
, V
лежат на одной окружности, так что PX\cdot PU=PY\cdot PV
. Следовательно, точка P
лежит на радикальной оси первых двух окружностей, т. е. на прямой AB
и, значит, совпадает с одной из точек C
или D
. Для второй точки доказательство аналогично.