10325. Вокруг прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
описана окружность. На меньших дугах AC
и BC
взяты их середины — K
и P
соответственно. Отрезок KP
пересекает катет AC
в точке N
. Центр вписанной окружности треугольника ABC
— точка I
. Найдите угол NIC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Заметим, что точки A
, I
, P
лежат на биссектрисе угла BAC
, а точки B
, I
, K
— на биссектрисе угла ABC
. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) KA=KC
и PB=PC
. Тогда точки K
и P
— центры описанных окружностей треугольников IAC
и IBC
соответственно. Значит, прямая KP
— серединный перпендикуляр к общей хорде CI
этих окружностей (см. задачу 1130). Тогда NI=NC
.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается катета BC
в точке Q
. Тогда треугольник NIQ
равен прямоугольному треугольнику NCQ
по трём сторонам, значит, \angle NIQ=90^{\circ}
, четырёхугольник CNIQ
— квадрат, а N
— точка касания катета AC
с вписанной окружностью треугольника ABC
. Следовательно, \angle NIC=45^{\circ}
.