10372. Две окружности пересекаются в точках P
и Q
. Точка A
лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые AP
и AQ
пересекают вторую окружность в точках B
и C
соответственно. Укажите положение точки A
, при котором треугольник ABC
имеет наибольшую площадь.
Ответ. Треугольник ABC
имеет наибольшую площадь, когда A
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ
.
Решение. Заметим, что при движении точки A
по первой окружности (см.1) угол PAQ
не меняется (поскольку опирается на фиксированную дугу PQ
). Также фиксированной является дуга PQ
второй окружности. Поскольку (см. задачу 27)
\angle PAQ=\frac{1}{2}(\smile BC-\smile PQ),
угловая величина дуги BC
постоянна, т. е. постоянна длина хорды BC
.
Таким образом, для любого положения точки A
в треугольнике ABC
величина угла A
и длина стороны BC
постоянны. Среди всех треугольников с данными стороной и противолежащим углом наибольшую площадь имеет равнобедренный (рис. 2). Следовательно, треугольник ABC
имеет наибольшую площадь, когда точка A
лежит на линии центров данных окружностей, которая является серединным перпендикуляром к отрезку PQ
(см. задачи 1130 и 5051).