10384. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC
на прямую AC
, проходит через центр вписанной окружности треугольника A_{1}CB_{1}
.
Решение. Пусть K
и M
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами AC
и BC
соответственно, I
— центр вписанной окружности, L
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на прямую AC
, O
— точка пересечения прямых ML
и IC
. Докажем, что O
— центр вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C
.
Луч CI
— биссектриса угла A_{1}CB_{1}
, поэтому достаточно доказать, что длина отрезка OL
равна радиусу этой окружности. Из подобия прямоугольных треугольников COL
и CIK
следует, что \frac{OL}{IK}=\frac{CL}{CK}
. Поскольку CK=CM
и \frac{CL}{CM}=\cos\angle C
, то
OL=IK\cdot\frac{CL}{CK}=IK\cdot\frac{CL}{CM}=IK\cdot\cos\angle C.
Известно, что треугольник A_{1}B_{1}C
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k=\cos\angle C
(см. задачу 19). Учитывая, что IK
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, получим, что OL=IK\cdot\cos\angle C
— радиус вписанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C
. Что и требовалось доказать.